Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x²+2x+5，令g（x）=（2-2a）x-f（x）
（1）若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

分析 g（x）=x²-2ax-5的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，
（1）若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，則a≤0；
（2）分類討論給定區(qū)間與對稱軸x=a的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=-x²+2x+5，
∴g（x）=（2-2a）x-f（x）=x²-2ax-5的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，
若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
則a≤0----------------5
（2）∵g（x）=x²-2ax-5的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，
若a＜0，則當x=0時，函數(shù)g（x）取最小值-5，
若0≤a≤2，則當x=a時，函數(shù)g（x）取最小值-a²-5，
若a＞2，則當x=2時，函數(shù)g（x）取最小值-4a-15，

綜上所述：g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}-5，a＜0\\-{a}^{2}-5，0≤a≤2\\-4a-1，a＞2\end{array}\right.$．------------12

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．