Question

10．平行四邊形ABCD的頂點A為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的中心，頂點B為雙曲線的右焦點，頂點C在y軸正半軸上，頂點D恰好在該雙曲線左支上，若∠ABC=45°，則此雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+3}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：求得D點坐標，代入雙曲線方程，整理得：c⁴-3a²c²+a⁴=0，同除以a⁴，由e＞1，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：B（c，0），由tan∠ABC=$\frac{丨AC丨}{丨BC丨}$=1，即丨AC丨=丨BC丨=c，
由平行四邊形的性質(zhì)可知：丨CD丨=丨AB丨=c，
則D點坐標為：D（-c，c），
代入雙曲線方程可知：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{c}^{2}}{^{2}}=1$，
由c²=a²+b²，整理得：c⁴-3a²c²+a⁴=0，同除以a⁴，
由e=$\frac{c}{a}$，
∴e⁴-3e²+1=0，解得：e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
由e²＞0，則e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
由e＞1，
∴e=$\sqrt{（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，平行四邊形的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．