【答案】
分析:(1)由a=4,得函數(shù)f(x)的解析式,求出其導函數(shù)以及導數(shù)為0的根,通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而求出f(x)的極小值;
(2)若定義域內(nèi)存在三個不同的自變量的取值x
i(i=1,2,3),使得f(x
i)-g(x
i)的值恰好都相等,設f(x
i)-g(x
i)=m.(i=1,2,3),則對于某一實數(shù)m,方程f(x)-g(x)=m在(0,+∞)上有三個不等的實數(shù),由此能求出在定義域內(nèi)不存在三個不同的自變量的取值x
i(i=1,2,3)使得f(x
i)-g(x
i)的值恰好都相等.
解答:解:(1)由已知得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127162013/SYS201310251245331271620021_DA/0.png)
,xk.Com]
則當0<x<1時f'(x)<0,可得函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù),
當x>1時f′(x)>0,可得函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
故函數(shù)的極小值為f(1)=2;
(2)若存在,設f(x
i)-g(x
i)=m(i=1,2,3),則對于某一實數(shù)m,方程f(x)-g(x)=m在(0,+∞)上有三個不同的實數(shù)根,設F(x)=f(x)-g(x)-m=2x
2-alnx+cos2x-m,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127162013/SYS201310251245331271620021_DA/1.png)
有兩個不同的零點,即關于x的方程4x
2-2xsin2x=a(x>0)有兩個不同的解G(x)=4x
2-2xsin2x(x>0),
則G'(x)=8x-2sin2x-4xcos2x=2(2x-sin2x)+4x(1-cos2x),
設h(x)=2x-sin2x,則h′(x)=2-2cos2x≥0,故h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
則當x>0時h(x)>h(0)=0,即2x>sin2x,
又1-cos2x>0,則G′(x)>0故G(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
則a=4x
2-2xsin2x(x>0)至多只有一個解,故不存.
方法二:關于方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127162013/SYS201310251245331271620021_DA/2.png)
的解,
當a≤0時,由方法一知2x>sin2x,此時方程無解;
當a>0時,由于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127162013/SYS201310251245331271620021_DA/3.png)
,
可以證明
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127162013/SYS201310251245331271620021_DA/4.png)
是增函數(shù),此方程最多有一個解,故不存在.
點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法.綜合性強,難度大,具有一定的探索性.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.