Question

定義兩個(gè)平面向量的一種運(yùn)算

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，則關(guān)于平面向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中，
①

a

?

b

=

b

?

a

，②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，③若

a

=λ

b

，則

a

?

b

=0④若

a

=λ

b

，且λ＞0，則（

a

+

b

）?

c

=（

a

?

c

）+（

b

?

c

）．
恒成立的有

 

．（填序號(hào) ）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用新定義，即可判斷①；運(yùn)用新定義，求出等式的左右兩邊，再討論λ的符號(hào)，即可判斷②；
運(yùn)用向量共線的定義，再由新定義，即可判斷③；運(yùn)用向量的共線，再由新定義，即可判斷④．

解答： 解：①∵

a

?

b

=|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞=

b

?

a

，故恒成立；
②∵λ（

a

?

b

）=λ|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，而（λ

a

）?

b

=|λ

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，
當(dāng)λ＜0時(shí)，λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，不恒成立；
③若

a

=λ

b

，則sin＜

a

，

b

＞=0，得到

a

?

b

=0，故恒成立；
④若

a

=λ

b

，且λ＞0，則

a

+

b

=（1+λ）

b

，
∴（

a

+

b

）?

c

=|（1+λ）||

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞，
而（

a

?

c

）+（

b

?

c

）=|λ

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞+|

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞=|1+λ||

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞．
故（

a

+

b

）?

c

=（

a

?

c

）+（

b

?

c

）恒成立．
綜上可知：只有①③④恒成立．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的運(yùn)算，合情推理，正確理解新定義及熟練掌握向量的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．