Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在兩個極值點，求證：無論實數(shù)取什么值都有.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;

（2）見解析.

【解析】試題分析: （1）先求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)在定義域上零點情況，本題實質(zhì)研究在上零點情況：當(dāng)方程無根時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個相等實根時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個不等實根時，比較兩根與定義區(qū)間之間關(guān)系，再確定單調(diào)區(qū)間，（2）先由（1）知，且兩個極值點滿足.再代入化簡得,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性證明不等式.

試題解析:（1）函數(shù)的定義域為.

，記，判別式.

①當(dāng)即時，恒成立，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)或時，方程有兩個不同的實數(shù)根，記，，顯然

（ⅰ）若，圖象的對稱軸，.

兩根在區(qū)間上，可知當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，，所以，所以在區(qū)間上遞增.

（ⅱ）若，則圖象的對稱軸，.，所以，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)或時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知當(dāng)時，沒有極值點，當(dāng)時，有兩個極值點，且.

，

∴又，

.記，，則，所以在時單調(diào)遞增，，所以，所以.