Question

設(shè)x₁、x₂ 是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=2

2

，則b的最大值為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點為x₁，x₂（x₁≠x₂），可以得到△＞0且由韋達(dá)定理可得x₁+x₂，x₁x₂，把等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁+x₂，x₁x₂的關(guān)系式，求出a、b的關(guān)系，把a(bǔ)看成未知數(shù)x，求三次函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)求極值，是b²最大值，開方可求b的最大值．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點為x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f'（x）=0有兩不等實根x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴△＞0，∴b²+3a³＞0，恒成立，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=-

a

3

＜0，
∵|x₁|+|x₂|=2

2

，且x₁，x₂異號，
∴（|x₁|+|x₂|）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=8，∴b²=-3a³+18a²≥0，解得0＜a≤6，
設(shè)t=-3a³+18a²，則t′=-9a²+36a=-9a（a-4）（0＜a≤6），
令t′＞0，得0＜a＜4，t′＜0，得6≥a＞4，
t在（0，4]是增函數(shù)，在[4，6）是減函數(shù)，
∴a=4取得t最大96，∴b²最大值為96，∴b_max=4

6

故答案為：4

6

．

點評：由原函數(shù)極值點的個數(shù)判斷出導(dǎo)函數(shù)解的個數(shù)，利用判別式得參數(shù)的關(guān)系，用韋達(dá)定理把參數(shù)和解聯(lián)系起來，韋達(dá)定理是個很好的“橋梁”，求最大值要先求極大值，三次函數(shù)一般用導(dǎo)數(shù)來求．