Question

6．已知點p（x，y）是圓（x-2）²+y²=1上任意一點．
（1）求$\frac{y-2}{x-1}$的最大值和最小值；
（2）求（x-2）²+（y-3）²的最大值和最小值；
（3）若x-2y+a≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設$\frac{y-2}{x-1}$=m，從而得到mx-y+2-m=0，然后利用直線與圓相切時，此時m有最值，求解即可；
（2）可以借助于式子（x-2）²+（y-3）²的幾何意義為：圓上的點到定點A（2，3）的距離的平方，然后，確定其最大值和最小值．
（3）利用轉化思想，x-2y+a≥0恒成立，只需要a≥（-x+2y）_max即可，然后，利用圓的參數方程，借助于輔助角公式進行求解．

解答 解：（1）設$\frac{y-2}{x-1}$=m，
∴mx-y+2-m=0，
∵當該直線與圓相切時，此時m有最值，
∴$\frac{|2m-0+2-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$，
∴m=-$\frac{3}{4}$，
故$\frac{y-2}{x-1}$的最大值為-$\frac{3}{4}$，沒有最小值；
（2）（x-2）²+（y-3）²的幾何意義為：
圓上的點到定點A（2，3）的距離的平方，
∵點A到圓心（2，0）的距離為3，
則所求最大值為（3+1）²=16；
最小值為（3-1）²=4．
（3）設圓的參數方程為：
$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴x-2y+a≥0恒成立，
只需要a≥（-x+2y）_max即可，
設t=-x+2y=-（2+cosθ）+2sinθ
=2sinθ-cosθ-2
=$\sqrt{5}$sin（θ-φ）-2，
∴t_max=$\sqrt{5}$-2，
∴a≥$\sqrt{5}$-2，
∴實數a的取值范圍[$\sqrt{5}$-2，+∞）．

點評 本題重點考查了圓的參數方程、直線與圓的位置關系、恒成立問題等知識，屬于中檔題．