如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2=60°．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）已知△AF1F2的面積為25
3
，求弦AB的長度．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）直接利用∠F1AF2=60°，求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設|BF2|=m，則|BF1|=2a-m，利用余弦定理以及已知△AF1B的面積為25
3
，直接求a，b 的值．由此能求出|AB|．
解答： 解：（Ⅰ）∵F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
A是橢圓C的頂點，∠F1AF2=60°，
∴a=2c，
∴e=
c
a
=
1
2
．
（Ⅱ）設|BF2|=m，則|BF1|=2a-m，
在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos120°
整理，得（2a-m）2=m2+a2+am．
m=
3
5
a．
△AF1B面積S=
1
2
|BA||F1A|sin60°，
∴
1
2
a（a+
3
5
a）•
3
2
=25
3
，解得a=
5
10
2
．
∴c=
a
2
=
5
10
4
，∴F1（-
5
10
4
，0），F(xiàn)2（
5
10
4
，0），∴A（0，
5
10
4
），
∴直線AB：x+y-
5
10
4
=0
∴F1到直線AB的距離d=
|-
5
10
4
-
5
10
4
|
2
=
5
5
2
，
∴|AB|=
25
3
1
2
d
=
25
3
5
5
4
=4
15
．
點評：本題考查橢圓離心率的求法，考查弦長的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式和橢圓性質(zhì)的靈活運用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A的直線與△ABC的外接圓交于點P，交BC的延長線于點D，
（Ⅰ）求證：∠ABP=∠D；
（Ⅱ）若AC=3，AP=2，求點D到△ABC的外接圓的切線長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x ，x≤1
log
1
2
x ，x＞1
，則f（f（2））等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設全集U=R，集合A={x|2＜x≤4}，B={3，4}，則A∩（∁UB）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（幾何證明選講）已知AP是圓O的切線，AC是圓O的割線，與圓交于B，C兩點，點M是弦BC的中點，若圓心O在∠PAB的內(nèi)部，如圖，則∠OAM+∠APM的大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線5x2+ky2=5的一個焦點是（2，0），則k=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-(x-1)2
，0≤x＜2
f(x-2)，x≥2
，若對于正數(shù)kn（n∈N*），直線y=knx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有2n+1個不同交點，則數(shù)列{kn2}的前n項和為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用數(shù)學歸納法證明
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
≥
5
6
，從n=k到n=k+l，不等式左邊需添加的項是（　�。�
A、
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
B、
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
-
1
k+1
C、
1
3k+1
D、
1
3k+3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過橢圓
x2
a2
+y2=1（a＞1）的右焦點F作相互垂直的兩條弦AB和CD，若|AB|+|CD|的最小值為2
3
，則橢圓的離心率e=（　　）
A、
3
3
B、
6
3
C、
2
2
D、
6
6

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