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【題目】已知橢圓中心在原點,焦點在坐標軸上,直線與橢圓在第一象限內的交點是,點軸上的射影恰好是橢圓的右焦點,橢圓的另一個焦點是,且.

1)求橢圓的方程;

2)直線過點,且與橢圓交于,兩點,求的面積的最大值及此時內切圓半徑.

【答案】(1);(2的面積最大值為3,內切圓半徑.

【解析】

(1)由已知可得,根據可得,代入橢圓可得,從而可得,可得橢圓方程;

(2)根據可得,換元可得,根據單調性可求得面積的最大值為3,根據為三角形內切圓半徑),可求得三角形內切圓半徑.

1)設橢圓方程為.在直線上,且點軸上的射影恰好是橢圓的右焦點,則點.

.,,所以,

解得,

∴橢圓方程為.

2)由(1)知,

設直線方程為,,則

,消去

.

,

,則,∴.

,,

時,上單調遞增,

,當時取等號,

即當時,的面積最大值為3.

過點的直線與橢圓交于,兩點,則的周長為.

為三角形內切圓半徑),

∴當的面積最大時,,得內切圓半徑.

練習冊系列答案
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(1)求橢圓的方程;

(2)不經過點的直線)與橢圓交于,兩點,關于原點的對稱點為(與點不重合),直線,軸分別交于兩點,,求證:.

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