Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞2）的離心率為

6

3

，右焦點(diǎn)為F（2

2

，0），斜率為1的直線l交橢圓于A，B，且AB為底邊的等腰三解形的頂點(diǎn)為p（-3，2），
（1）求橢圓方程；
（2）求

PA

•

PB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）首先，根據(jù)離心率和右焦點(diǎn)這兩個(gè)條件，確定a和b的值，然后，寫(xiě)出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）首先，設(shè)出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和直線的方程，然后，聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知量，整理成關(guān)于一個(gè)量的二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．

解答： 解：（1）∵e=

c

a

=

6

3

，c=2

2

，
∴a=3，
∴b=

a2-c2

=2，
∴橢圓方程

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），點(diǎn)B（x₂，y₂），則線段AB的中點(diǎn)Q坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
設(shè)直線l的方程為：y=x+m，
聯(lián)立方程組

y=x+m x2+3y2=12

，
∴4x²+6mx+3m²-12=0，
∴x₁+x₂=-

3

2

m，①
∵

PA

=（x₁+3，y₁-2），

PB

=（x₂+3，y₂-2），
∴

PA

•

PB

=（m+1）（x₁+x₂）+5，
∵k_PQ=-1，
∴

y1+y2 2 -2

x1+x2 2 +3

=-1，
∴y₁+y₂-4=-（x₁+x₂）-6，
∴x₁+x₂=-m-1，②
根據(jù)①②得，
m=2，
∴

PA

•

PB

=（m+1）（x₁+x₂）+5=-4，
∴

PA

•

PB

的值為-4．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題，也是高考�？紗�(wèn)題，著重理解解題思路和方法．