Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=3，三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列．
（1）若cosC=

6

3

，求c；
（2）求

BA

•

BC

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形

分析：（1）由已知得2B=A+C，從而B=

π

3

，由正弦定理，得

AB

sinC

=

AC

sinB

，由此能求出c．
（2）由余弦定理，得b²=a²+c²-2acosB，又a²+c²≥2ac，由此能求出

BA

•

BC

的最大值．

解答： 解：（1）∵三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，∴B=

π

3

，
又cosC=

6

3

，∴sinC=

3

3

，
由正弦定理，得

AB

sinC

=

AC

sinB

，
∴AB=

AC

sinB

×sinC=

3

3 2

×

3

3

=2．
即c=2．
（2）由余弦定理，得b²=a²+c²-2acosB，
即3²=a²+c²-ac，
又a²+c²≥2ac，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號(hào)，
∴9=a²+c²-ac≥ac，
∴

BA

•

BC

=

1

2

ac≤

9

2

．
∴

BA

•

BC

的最大值為

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的邊長(zhǎng)的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、余弦定理、數(shù)列知識(shí)的合理運(yùn)用．