Question

18．如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA₁′分別交BB₁，CC₁于點P，Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A₁′與AA₁重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
（Ⅰ）求證：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底邊AC上是否存在一點M，滿足BM∥平面APQ，若存在試確定點M的位置，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)AB，BC，AC三邊滿足AC²=AB²+BC²，可知AB⊥BC，而AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底邊AC上取點M，使得AM：MC=3：4，過M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，從而四邊形PBMN為平行四邊形，對邊平行BM∥PN，由線面平行的判定定理得BM∥平面APQ．

解答 解：（Ⅰ）證明：因為AB=3，BC=4，
所以AC=5，從而AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC．（3分）
又因為AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁
所以AB⊥PQ （6分）
（Ⅱ）在底邊AC上存在一點M，使得AM：MC=3：4，滿足BM∥平面APQ，
證明：過M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，
∵AM：MC=3：4，
∴AM：AC=MN：CQ=3：7
∴MN=PB=3，
∵PB∥CQ，
∴MN∥PB，
∴四邊形PBMN為平行四邊形，
∴BM∥PN，
∴BM∥平面APQ，
∴BM∥平面APQ，此時有$\frac{AM}{MC}$=$\frac{3}{4}$．（12分）

點評 本題主要考查了空間兩直線的位置關系的判定，以及直線與平面平行的判定，同時考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了學生轉(zhuǎn)化的能力．屬于中檔題．