Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，可得f′（e）=3，從而可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）構(gòu)造，求導(dǎo)函數(shù)可得，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），確定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x，且滿足x∈（3，4），進(jìn)而可得在（1，x）上單調(diào)遞減，在（x，+∞）上單調(diào)遞增，求出最小值，即可得證．
解答：（1）解：求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=a+lnx+1
∵函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，-----------------------（3分）
（2）證明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令，則，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（7分）
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x，且滿足x∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
當(dāng)x＞x時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）
所以函數(shù)在（1，x）上單調(diào)遞減，在（x，+∞）上單調(diào)遞增．
所以．
因?yàn)閤＞3，所以x＞1時(shí)，恒成立     …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題時(shí)構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．