我們用部分自然數(shù)構(gòu)造如下的數(shù)表:用aij(i≥j)表示第i行第j個(gè)數(shù)(i、j為正整數(shù)),使ai1=aii=i;每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和(第一、二行除外,如圖),設(shè)第n(n為正整數(shù))行中各數(shù)之和為bn
(Ⅰ)試寫(xiě)出b2-2b1,b3-2b2,b4-2b3,b5-2b4,并推測(cè)bn+1和bn的關(guān)系(無(wú)需證明);
(Ⅱ)證明數(shù)列{bn+2}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;
(Ⅲ)數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項(xiàng)bp,bq,br(p、q、r為正整數(shù))恰好成等差數(shù)列?若存在,求出p、q、r的關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(Ⅰ)b1=1;b2,=4;b3=10;b4=22;b5=46;
可見(jiàn):b2-2b1=2;b3-2b2=2;b4-2b3=2;b5-2b4=2,(2分)
猜測(cè):bn+1-2bn=2(或bn+1=2bn+2或bn+1-bn=3×2n-1)(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),(7分)
所以bn+2是以b1+2=3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
∴bn+2=3×2n-1,即bn=3×2n-1-2(注:若考慮,且不討論n=1,扣1分)(10分)
(Ⅲ)若數(shù)列{bn}中存在不同的三項(xiàng)bp,bq,br(p、q、r∈N*)恰好成等差數(shù)列,
不妨設(shè)p>q>r,顯然,bn是遞增數(shù)列,則2bq=bp+br(11分)
即2×(3×2q-1-2)=(3×2p-1-2)+(3×2r-1-2),于是2×2q-r=2p-r+1(14分)
由p、q、r∈N*且p>q>r知,q-r≥1,p-r≥2,
∴等式的左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),不成立,
故數(shù)列{bn}中不存在不同的三項(xiàng)bp,bq,br(p、q、r∈N*)恰好成等差數(shù)列.(16分)
分析:(Ⅰ)b1=1;b2=4;b3=10;b4=22;b5=46;可見(jiàn):b2-2b1=2;b3-2b2=2;b4-2b3=2;b5-2b4=2,由此能夠猜測(cè):bn+1-2bn=2.
(Ⅱ)由,知bn=3×2n-1-2.
(Ⅲ)若數(shù)列{bn}中存在不同的三項(xiàng)bp,bq,br(p、q、r∈N*)恰好成等差數(shù)列,設(shè)p>q>r,bn是遞增數(shù)列,則2bq=bp+br,于是2×2q-r=2p-r+1,由p、q、r∈N*且p>q>r知,q-r≥1,p-r≥2,由此知數(shù)列{bn}中不存在不同的三項(xiàng)bp,bq,br(p、q、r∈N*)恰好成等差數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用及等比關(guān)系的確定,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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(Ⅰ)試寫(xiě)出b2-2b1,b3-2b2,b4-2b3,b5-2b4,并推測(cè)bn+1和bn的關(guān)系(無(wú)需證明);
(Ⅱ)證明數(shù)列{bn+2}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;
(Ⅲ)數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項(xiàng)bp,bq,br(p、q、r為正整數(shù))恰好成等差數(shù)列?若存在,求出p、q、r的關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)試寫(xiě)出,并推測(cè)的關(guān)系(無(wú)需證明);

(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式

(3)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)為正整數(shù))恰好成等差數(shù)列?若存在,求出的關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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(1)              試寫(xiě)出并推測(cè)的關(guān)系(無(wú)需證明);

(2)              證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)              數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列?若存在求出的關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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