(08年靜安區(qū)質(zhì)檢文)我們用部分自然數(shù)構(gòu)造如下的數(shù)表:用表示第行第個(gè)數(shù)(為正整數(shù)),使;每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和(第一、二行除外,如圖),設(shè)第為正整數(shù))行中各數(shù)之和為.

(1)試寫出,并推測的關(guān)系(無需證明);

(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)為正整數(shù))恰好成等差數(shù)列?若存在,求出的關(guān)系;若不存在,請說明理由.

 

解析:(1);(或);

事實(shí)上,

 

;                           

(2)由(1) ,                                          

所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,

,即

(注:若考慮,且不討論,扣1分)             

 

(3)若數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列,不妨設(shè),

顯然,是遞增數(shù)列,則                

,于是 

知,

∴等式的左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),不成立,故數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列.                  

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