已知向量
a
,
b
滿足|
a
|=2,|
b
|=1,且對一切實(shí)數(shù)x,|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|恒成立,則
a
b
的夾角的大小為
 
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析:設(shè)
a
,
b
的夾角為θ,求得
a
b
=2cosθ,再由向量的平方即為模的平方,對一切實(shí)數(shù)x,|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|恒成立,即有不等式x2+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立,運(yùn)用判別式不大于0,解不等式,再由非負(fù)數(shù)概念和夾角的范圍,即可得到所求夾角.
解答: 解:設(shè)
a
,
b
的夾角為θ,
a
b
=2×1×cosθ=2cosθ,
不等式|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|即為
a
+x
b
2≥(
a
+
b
2,
a
2
+2x
a
b
+x2
b
2
a
2
+2
a
b
+
b
2
,
即有4+4xcosθ+x2≥4+4cosθ+1,
即x2+4xcosθ-1-4cosθ≥0,
由對一切實(shí)數(shù)x,|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|恒成立,
則有△≤0,即為16cos2θ+4(1+4cosθ)≤0,
即有(2cosθ+1)2≤0,
則有2cosθ+1=0,
即cosθ=-
1
2
,
由0≤θ≤π,可得θ=
3

故答案為:
3
點(diǎn)評:本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì),主要考查向量的平方即為模的平方,同時考查二次不等式恒成立思想,運(yùn)用判別式不大于0是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=sinωx(0<ω<2)在區(qū)間[0,
π
3
]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[
π
3
,
π
2
]上單調(diào)遞減,則ω等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一組數(shù)1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,按這組數(shù)規(guī)律,x應(yīng)為(  )
A、11B、12C、13D、14

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲、乙兩所學(xué)校高三級某學(xué)年10次聯(lián)合考試的理科數(shù)學(xué)成績平均分用莖葉圖如圖所示,則甲乙兩所學(xué)校的平均分
.
x
及方差s2的大小關(guān)系為( 。
A、
.
x
.
x
,s2>s2
B、
.
x
.
x
,s2<s2
C、
.
x
.
x
,s2<s2
D、
.
x
.
x
,s2>s2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=kx-1,其中實(shí)數(shù)k隨機(jī)選自區(qū)間[-2,2],?x∈[0,1],f(x)≤0的概率是( 。
A、
1
4
B、
1
3
C、
1
2
D、
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
1
3
x3+ax2+(2a-1)x,f(x)在(-9,-2)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
x2-4x+3,  x≤0
-x2-2x+3,  x>0
不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(-2,0)
B、(-∞,0)
C、(0,2)
D、(-∞,-2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在?ABCD中,點(diǎn)M在AB上,且AM=3MB,點(diǎn)N在BD上,且
BN
BD
,C、M、N三點(diǎn)共線,求λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn+2=2an(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)令bn=log2an,Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
,求滿足Tn
15
8
的最大正整數(shù)n的值.

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