考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析:設(shè)
,
的夾角為θ,求得
•=2cosθ,再由向量的平方即為模的平方,對一切實(shí)數(shù)x,|
+x
|≥|
+
|恒成立,即有不等式x
2+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立,運(yùn)用判別式不大于0,解不等式,再由非負(fù)數(shù)概念和夾角的范圍,即可得到所求夾角.
解答:
解:設(shè)
,
的夾角為θ,
則
•=2×1×cosθ=2cosθ,
不等式|
+x
|≥|
+
|即為
(
+x
)
2≥(
+
)
2,
即
2+2x
•+x
22≥
2+2
•+
2,
即有4+4xcosθ+x
2≥4+4cosθ+1,
即x
2+4xcosθ-1-4cosθ≥0,
由對一切實(shí)數(shù)x,|
+x
|≥|
+
|恒成立,
則有△≤0,即為16cos
2θ+4(1+4cosθ)≤0,
即有(2cosθ+1)
2≤0,
則有2cosθ+1=0,
即cosθ=-
,
由0≤θ≤π,可得θ=
.
故答案為:
.
點(diǎn)評:本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì),主要考查向量的平方即為模的平方,同時考查二次不等式恒成立思想,運(yùn)用判別式不大于0是解題的關(guān)鍵.