【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A,B,C三點滿足。
(1)求證:A,B,C三點共線;
(2)若A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x∈[0, ],函數f(x)=(2m+)||+m2的最小值為5,求實數m的值。
【答案】(1)見解析(2) m的值為-3或
【解析】試題分析: (1)因為,且,化簡可得,即∥,又與有公共點A,則命題成立; (2)根據和=-求出,的坐標,代入解析式f(x),化簡可得關于sin x的二次函數,討論對稱軸與區(qū)間[0,1]的中點為的關系,根據單調性分別得出最小值,列出等式求得m的值.
試題解析:
(1)因為,
所以∥,又與有公共點A,
所以A,B,C三點共線。
(2)因為=(1,cosx),=(1+sinx,cosx),
所以= + =(1+sinx,cosx),=-=(sinx,0),
故·=1+sinx+cos2x,||==sinx,
從而f(x)=·+(2m+)||+m2=1+sinx+cos2x+(2m+)sinx+m2
=cos2x+(2m+1)sinx+1+m2=-sin2x+(2m+1)sinx+2+m2,
關于sin x的二次函數的對稱軸為sin x=,
因為x [0, ],所以sin x [0,1],又區(qū)間[0,1]的中點為。
①當≤,即m≤0時,當sinx=1時,f(x)min=m2+2m+2,
由f(x)min=5得m=-3或m=1,又m≤0,所以m=-3;
②當>,即m>0時,當sinx=0時,f(x)min=2+m2,
由f(x)min=5得m=,又m>0,所以m=。
綜上所述:m的值為-3或。
點睛:平面向量的數量積計算問題,往往有兩種形式,一是利用數量積的定義式,二是利用數量積的坐標運算公式,先建立適當的平面直角坐標系,可起到化繁為簡的妙用. 利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件,可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數量積來解決.列出方程組求解未知數.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)想通過做廣告來提高銷售額,經預測可知本企業(yè)產品的廣告費x(單位:百萬元)與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下對應數據:
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
由表中的數據得線性回歸方程為 = x+ ,其中 =6.5,由此預測當廣告費為7百萬元時,銷售額為萬元.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知數集X={x1,x2,…,xn}(其中xi>0,i=1,2,…,n,n≥3),若對任意的xk∈X(k=1,2,…,n),都存在xi,xj∈X(xi≠xj),使得下列三組向量中恰有一組共線:
①向量(xi,xk)與向量(xk,xj);②向量(xi,xj)與向量(xj,xk);③向量(xk,xi)與向量(xi,xj),則稱X具有性質P。例如{1,2,4}具有性質P。
(1)若{1,3,x)具有性質P,則x的取值為________;
(2)若數集{1,3,x1,x2}具有性質P,則x1+x2的最大值與最小值之積為________。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙二人參加某體育項目訓練,近期的五次測試成績得分情況如圖所示.
(1)分別求出兩人得分的平均數與方差;
(2)根據圖和上面算得的結果,對兩人的訓練成績作出評價.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某某車站在春運期間為了改進服務,隨機抽樣調查了100名旅客從開始在購票窗口排隊到購到車票所用的時間t(以下簡稱購票用時,單位:min).下面是這次抽樣的頻率分布表和頻率分布直方圖,解答下列問題:
分組 | 頻數 | 頻率 | |
一組 | 0≤t<5 | 0 | 0 |
二組 | 5≤t<10 | 10 | |
三組 | 10≤t<15 | 10 | 0.10 |
四組 | 15≤t<20 | ||
五組 | 20≤t<25 | 30 | 0.30 |
合計 | 100 | 1.00 |
(1)這次抽樣的樣本容量是多少?
(2)在表中填寫缺失的數據并補全頻率分布直方圖.
(3)旅客購票用時的平均數可能落在哪一個小組?
(4)若每增加一個購票窗口可使平均購票用時縮短5 min,要使平均購票用時不超過10 min,那么你估計最少要增加幾個窗口?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在已知函數,(其中,,)的圖象與軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為
(1)求的解析式;
(2)當時,求的值域;
(3)求在上的單調區(qū)間.
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