三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè)，分別為線段，的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且.

（1）證明：為線段的中點(diǎn)；
（2）求二面角的余弦值.

（1）證明詳見解析；（2）.

解析試題分析：根據(jù)側(cè)視圖和俯視圖可知，為正三角形，頂點(diǎn)D在底面內(nèi)的射影為BD的中點(diǎn)O，所以兩兩互相垂直，故可以為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系如圖所示.（1），為了證明點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，只需利用向量證明即可.（2）利用向量求出平面PMN和平面ABC的法向量，求出法向量的夾角即可得二面角的余弦值.

試題解答：取BD的中點(diǎn)O，建坐標(biāo)系如圖所示，則，，設(shè)（1）證明：設(shè)，則，.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/43/1/19qnd3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以點(diǎn)P是BC的中點(diǎn).

（2）易平面PMN的法向量為.，設(shè)平面ABC的法向量為，則，所以.
【考點(diǎn)定位】1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、二面角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面  
為正方形，，，分別是，的 中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)位置，
使平面，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在四棱柱中,已知平面平面且,.
(1) 求證:
(2) 若為棱上的一點(diǎn),且平面,求線段的長(zhǎng)度

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中-A BC中，AB  AC，AB=AC=2，=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求平面與所成二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形。

（Ⅰ）若，證明：直線平面；
（Ⅱ）設(shè)，分別是線段，的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．

(1)證明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱錐A′－MNC的體積．(錐體體積公式V＝Sh，其中S為底面面積，h為高)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn).
（1）求證：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

四面體ABCD中，有如下命題：①若AC⊥BD，AB⊥CD，則AD⊥BC；
②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點(diǎn)，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大��；
③若四面體ABCD有內(nèi)切球，則
④若四個(gè)面是全等的三角形，則ABCD為正四面體。
其中正確的是：  （填上所有正確命題的序號(hào)）

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