如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.
（1）求證：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求點C到平面A1BD的距離.

（1）證明過程見解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）取中點，連結，取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，寫出坐標，進而得出向量坐標，利用向量垂直時坐標關系可證明，，可得平面；（2）令平面的法向量為，則，可得一法向量，由（1）為平面的法向量,那么二面角的余弦值即為，；（3）可求，．為平面的法向量,所以C到平面A1BD的距離.
解：（1）取中點，連結．為正三角形，,
在正三棱柱中，平面平面，
平面,

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，
，，．
，，
，,
平面．     4分
（2）設平面的法向量為,
，,
，，
令得

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐中，底面為矩形，，，，，分別為的中點．
(1) 求證：；
(2) 求證：平面；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

三棱錐及其側視圖、俯視圖如圖所示.設，分別為線段，的中點，為線段上的點，且.

（1）證明：為線段的中點；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.
（1）設平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；
（2）設F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱的中點.
（1）證明平面；
（2）若二面角P-AD-B為，
①證明：平面PBC⊥平面ABCD
②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱⊥底面 ，，是的中點，作交于點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（13分）（2011•廣東）如圖所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分別為的中點，O1，O1′，O2，O2′分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點．

（1）證明：O1′，A′，O2，B四點共面；
（2）設G為A A′中點，延長A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．證明：BO2′⊥平面H′B′G

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，,ED=1，//BD，且.
（1）求證：BF//平面ACE；
（2）求證：平面EAC平面BDEF;
（3）求二面角B-AF-C的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，，，為正三角形，且平面平面．

（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值．

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