已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=e an-an-1，求證：0＜an+1＜an．
考點(diǎn)：數(shù)列遞推式
專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．
解答： 證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：an+1＜an．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a2=ea1-a1-1=e-1-1＜1=a1，因此n=1時(shí)成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k≥1時(shí)，ak+1＜ak成立．
則ak+2=eak+1-ak+1-1=eak+1-（eak-ak+1-1）-1=eak+1-eak+ak+1＜ak+1，
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．
綜上（1）（2）可得：?n∈N*，an+1＜an都成立．
同理利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明an+1＞0．
∴0＜an+1＜an．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)fn（x）=cosnx+cosn（x+
2π
3
）+cosn（x+
4π
3
），其中n∈N*．
（1）求fn（0）和fn（
π
2
）；
（2）求證：對(duì)任意x∈R，f2（x）為定值；
（3）對(duì)任意x∈R，是否存在最大的正整數(shù)n，使得函數(shù)y=fn（x）為定值？若存在，求出n的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）試討論函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=-x2-2x+3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（�。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．
（1）0≤x≤3；         
（2）-2≤x≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=
xeax，0＜x＜1
2x+1，x≥1
，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均大于1，且an+1=f（2an-1）-1，a1=m，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x，y滿足直線l：x+2y=6．
（1）求原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，求k=
y-1
x-1
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
、
b
滿足|
a
|=1，|
b
|=4，且
a
•
b
=2，則
a
與
b
的夾角為（　�。�
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)y=
x
+3
3x2
+6
6x5
+a5（a為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=xm-3，m是正整數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間（0，+∞）是減函數(shù)，求f（x）的解析式．

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同步練習(xí)冊(cè)答案