Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f_n（x）=cosⁿx+cosⁿ（x+

2π

3

）+cosⁿ（x+

4π

3

），其中n∈N^*．
（1）求f_n（0）和f_n（

π

2

）；
（2）求證：對(duì)任意x∈R，f₂（x）為定值；
（3）對(duì)任意x∈R，是否存在最大的正整數(shù)n，使得函數(shù)y=f_n（x）為定值？若存在，求出n的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)條件直接求f_n（0）和f_n（

π

2

）；
（2）根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可證明對(duì)任意x∈R，f₂（x）為定值；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）fn(0)=1+2(-

1

2

)n，fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n．
（2）對(duì)任意x∈Rf1(x)=cosx+cos(x+

2π

3

)+cos(x+

4π

3

)=cosx-

1

2

cosx-

3

2

sinx-

1

2

cosx+

3

2

sinx=0
又cos2x=

1

2

(1+cos2x)，故f2(x)=

1

2

(3+f1(2x))=

3

2

．
（3）由于cos4x=

1

4

(1+2cos2x+cos22x)
故f4(x)=

1

4

(3+2f1(2x)+f2(2x))=

9

8

，即n=4時(shí)，y=f_n（x）為定值．
當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥3時(shí)，由（1）得：fn(0)=1+2(-

1

2

)n=1-

1

2n-1

＞0，而fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n=0，即fn(0)≠fn(

π

2

)．故y=f_n（x）不可能為定值．
當(dāng)n為偶數(shù)，且n≥6時(shí)，由（1）得：fn(0)=1+2(-

1

2

)n=1+

1

2n-1

＞1．而(

3

2

)n關(guān)于n單調(diào)遞減，
故fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n=2(

3

2

)n≤2(

3

2

)6=

27

32

＜1．即fn(0)≠fn(

π

2

)，故y=f_n（x）不可能為定值．
綜上，存在最大的正整數(shù)n=4，使得對(duì)任意的x∈R，y=f_n（x）為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)式恒等變化，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．