已知函數(shù)f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a.其中a∈R且a≠0.
(1)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的一個公共點恰好在x軸上,求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)與g(x)圖象相交于不同的兩點A、B,O為坐標原點,試問:△OAB的面積S有沒有最值?如果有,求出最值及所對應的a的值;如果沒有,請說明理由.
【答案】
分析:(1)設函數(shù)g(x)圖象與x軸的交點坐標為(a,0),而點(a,0)也在函數(shù)f(x)的圖象上,代入函數(shù)f(x)的解析式建立等式,解之即可求出a的值;
(2)依題意,f(x)=g(x),函數(shù)f(x)與g(x)圖象相交于不同的兩點A、B,則△>0,求出a的范圍,設A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),求出AB以及點O到直線g(x)=x-a的距離,從而求出三角形的面積關(guān)于a的函數(shù),根據(jù)a的范圍求出面積的最值.
解答:解:(1)設函數(shù)g(x)圖象與x軸的交點坐標為(a,0),
又∵點(a,0)也在函數(shù)f(x)的圖象上,∴a
3+a
2=0.
而a≠0,∴a=-1.
(2)依題意,f(x)=g(x),即ax
2+ax=x-a,
整理,得 ax
2+(a-1)x+a=0,①
∵a≠0,函數(shù)f(x)與g(x)圖象相交于不同的兩點A、B,
∴△>0,即△=(a-1)
2-4a
2=-3a
2-2a+1=(3a-1)(-a-1)>0.
∴-1<a<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097896632/SYS201310251250310978966021_DA/0.png)
且a≠0.…(6分)
設A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),且x
1<x
2,由①得,x
1•x
2=1>0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097896632/SYS201310251250310978966021_DA/1.png)
.
設點O到直線g(x)=x-a的距離為d,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097896632/SYS201310251250310978966021_DA/2.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097896632/SYS201310251250310978966021_DA/3.png)
.
∴S
△OAB=
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=
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.
∵-1<a<
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且a≠0,∴當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097896632/SYS201310251250310978966021_DA/10.png)
時,S
△OAB有最大值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097896632/SYS201310251250310978966021_DA/11.png)
,S
△OAB無最小值.
點評:本題主要考查了三角形面積的度量,以及利用二次函數(shù)研究函數(shù)的最值,屬于中檔題.