Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx+1（a≠0）．
（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率；
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得所有的（a，b）共有4×3=12個(gè)，而滿足條件的（a，b）有6個(gè)，從而求得所求事件的概率．
（2）由函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，求得b≤a．而所有的點(diǎn)（a，b）構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，再根據(jù)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)的概率為

SOBCDE

SABDE

，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）由題意可得所有的（a，b）共有4×3=12個(gè)，根據(jù)f（x）在（-1，0）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且f（0）=1，
故有f（-1）=a-2b+1＜0，即 a＜2b-1，故滿足條件的（a，b）有（-2，0）、（-2，-1）、（-2，2）、
（-1，1）、（-1，2）、（2，2），共計(jì)6個(gè)，
∴所求事件的概率為

6

12

=

1

2

．
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，即-

2b

2a

≥-1，求得b≤a．
而所有的點(diǎn)（a，b）構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，如圖所示：
故函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)的概率為

SOBCDE

SABDE

=

1×2- 1 2 ×1×1

1×2

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，古典概率及其計(jì)算公式，幾何概型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．