Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n=2a_n-1-1（n≥2，n∈N），則

lim

n→∞

an

2n+1-3

=

3

4

．

Answer 1

分析：通過已知遞推關系式，構造新數(shù)列，求出新數(shù)列的通項公式，然后推出數(shù)列的通項公式，代入極限的表達式，利用數(shù)列極限的求解法則，計算出結果即可．

解答：解：因為數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n=2a_n-1-1（n≥2，n∈N），
所以a_n-1=2（a_n-1-1）（n≥2，n∈N），
所以數(shù)列{a_n-1}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n-1=3×2^n-1．
∴a_n=3×2^n-1+1．
則

lim

n→∞

an

2n+1-3

=

lim

n→∞

3×2n-1+1

2n+1-3

=

lim

n→∞

3+ 1 2n-1

4 - 3 2n-1

=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列的極限的求法，解題的關鍵是構造新數(shù)列，求出新數(shù)列的通項公式，考查計算能力．