已知數(shù)列中,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng);
(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
(Ⅰ).
(Ⅱ).
(Ⅲ)的最小值是.
解析試題分析:(Ⅰ),①
,②
①-②:,, 2分
即(),又=2,
時,數(shù)列是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.
,故 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知當(dāng)時,,
當(dāng)時,;
當(dāng)時,,①
,②
①-②得,
=
=
,又也滿足
9分
(Ⅲ),由(Ⅰ)可知:
當(dāng)時,,令,
則,
又,∴
∴當(dāng)時,單增,∴的最小值是
而時,,綜上所述,的最小值是
∴,即的最小值是 13分
考點(diǎn):等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式,“錯位相減法”,不等式恒成立問題。
點(diǎn)評:難題,為確定等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,往往通過建立相關(guān)元素的方程組,而達(dá)到目的。數(shù)列的求和問題,往往涉及“公式法”“分組求和法”“裂項(xiàng)相消法”“錯位相減法”等。涉及不等式恒成立問題,通過放縮、求和等,得到最值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為實(shí)數(shù),數(shù)列滿足,當(dāng)時,,
(Ⅰ);(5分)
(Ⅱ)證明:對于數(shù)列,一定存在,使;(5分)
(Ⅲ)令,當(dāng)時,求證:(6分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,已知對任意的,點(diǎn),均在函數(shù)的圖像上.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)記求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列為等比數(shù)列, 其前項(xiàng)和為, 已知, 且對于任意的有, , 成等差;求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在正項(xiàng)等比數(shù)列中,, .
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(3) 記對于(2)中的,不等式對一切正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義:若數(shù)列對任意,滿足(為常數(shù)),稱數(shù)列為等差比數(shù)列.
(1)若數(shù)列前項(xiàng)和滿足,求的通項(xiàng)公式,并判斷該數(shù)列是否為等差比數(shù)列;
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,試判斷是否一定為等差比數(shù)列,并說明理由;
(3)若數(shù)列為等差比數(shù)列,定義中常數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和為, 求證:.
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