已知數(shù)列中，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
（Ⅲ）的最小值是.

解析試題分析：（Ⅰ），①
，②
①-②：，，        2分
即（），又=2，
時(shí)，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
，故           4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí),,①
,②
①-②得，
= 
=
，又也滿足
               9分
（Ⅲ），由（Ⅰ）可知：
當(dāng)時(shí)，，令，
則，
又，∴
∴當(dāng)時(shí)，單增，∴的最小值是
而時(shí)，，綜上所述，的最小值是
∴，即的最小值是         13分
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，“錯(cuò)位相減法”，不等式恒成立問題。
點(diǎn)評(píng)：難題，為確定等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往通過建立相關(guān)元素的方程組，而達(dá)到目的。數(shù)列的求和問題，往往涉及“公式法”“分組求和法”“裂項(xiàng)相消法”“錯(cuò)位相減法”等。涉及不等式恒成立問題，通過放縮、求和等，得到最值。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，當(dāng)時(shí)，求證：(6分)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)的圖像上.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）記求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列為等比數(shù)列, 其前項(xiàng)和為, 已知, 且對(duì)于任意的有, , 成等差；求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，
（Ⅰ）記，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

等差數(shù)列中，，公差為整數(shù)，若，．
(1)求公差的值；                 (2)求通項(xiàng)公式。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在正項(xiàng)等比數(shù)列中，, .
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;　　
(2) 記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(3) 記對(duì)于（2）中的，不等式對(duì)一切正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

定義：若數(shù)列對(duì)任意，滿足（為常數(shù)），稱數(shù)列為等差比數(shù)列.
(1)若數(shù)列前項(xiàng)和滿足，求的通項(xiàng)公式，并判斷該數(shù)列是否為等差比數(shù)列；
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，試判斷是否一定為等差比數(shù)列，并說明理由；
(3)若數(shù)列為等差比數(shù)列，定義中常數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為， 求證：.

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