Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+mx，其中m為常數(shù)．
（Ⅰ）當m=-1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3，求m的值；
（Ⅲ）令g（x）=

f(x)+2

x

-f′（x），若x≥1時，有不等式g（x）≥

k

x+1

恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）在定義域（0，+∞）內對函數(shù)f（x）求導，求其極大值，若是唯一極值點，則極大值即為最大值．
（Ⅱ）在定義域（0，+∞）內對函數(shù)f（x）求導，對m進行分類討論并判斷其單調性，根據f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調性求其最大值，并判斷其最大值是否為-3，若是就可求出相應的最大值．
（Ⅲ）首先求g（x），有不等式g（x）≥

k

x+1

恒成立，轉化為k≤g（x）（x+1），求g（x）（x+1）的最小值，問題得以解決．

解答： 解：（1）易知f（x）定義域為（0，+∞），
當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

，令f′（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
（2）∵f′（x）=m+

1

x

，x∈（0，e]，
①若m≥0，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=me+1≥0，不合題意．
②若m＜0，則由f′（x）＞0，即0＜x＜-

1

m

由f′（x）＜0，即-

1

m

＜x≤e．
從而f（x）在（0，-

1

m

）上增函數(shù)，在（-

1

m

，e]為減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-

1

m

）=-1+ln（-

1

m

）
令-1+ln（-

1

m

）=-3，
∴m=e^-2，
∵-e²＜-

1

e

，
∴m=-e²為所求．
（Ⅲ）∵g（x）=

f(x)+2

x

-f′（x），f′（x）=m+

1

x

，f（x）=lnx+mx，
∴g（x）=

lnx

x

-

1

x

，
若x≥1時，有不等式g（x）≥

k

x+1

恒成立，
∴k≤g（x）（x+1）=lnx+

lnx

x

+

1

x

+1，
令h（x）=（x）（x+1）=lnx+

lnx

x

+

1

x

+1，
∴h′（x）=

x-lnx

x2

＞恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（1）=2，
∴k≤2．

點評：本題先通過對函數(shù)求導，求其極值，進而在求其最值，用到分類討論的思想方法．