Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（2x+2），g（x）=log_a（2x-2）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在x∈（1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，并用定義給予證明；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，若對(duì)[3，5]上的任意x都有h（x）＜2^x+m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由h（x）的解析式可得

2x+2＞0 2x-2＞0

，由此求得x的范圍，可得h（x）的定義域．
（2）根據(jù)h（x）=loga

x+1

x-1

，令k（x）=

x+1

x-1

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義求得k（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，再分a＞1和0＜a＜1兩種情況，分別研究y=h（x）=loga

x+1

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性．
（3）由題意知，m＞h（x）-2^x，對(duì)?x∈[3，5]恒成立，故m＞[h（x）-2^x]_max．再根據(jù)h（x）-2^x在x∈[3，5]上的單調(diào)性，求得[h（x）-2^x]_max，可得m的范圍．

解答： 解：（1）由題意可知，h（x）=f（x）-g（x）=log_a（2x+2）-log_a（2x-2），
由

2x+2＞0 2x-2＞0

 解得x＞1，所以h（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（2）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（2x+2）-log_a（2x-2）=loga

2x+2

2x-2

=loga

x+1

x-1

，
令k（x）=

x+1

x-1

，設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
那么 k（x₁）-k（x₂）=

1+x1

x1-1

-

1+x2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
因?yàn)閤₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以，

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
∴k（x₁）＞k（x₂），故k（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)．
∴a＞1時(shí)，y=h（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)．
0＜a＜1時(shí)，y=h（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．
（3）由題意知，m＞h（x）-2^x，對(duì)?x∈[3，5]恒成立，
∴m＞[h（x）-2^x]_max．
又當(dāng)a=2時(shí)，h（x）與y=-2^x在x∈[3，5]都是減函數(shù)，
∴m＞[h（x）-2^x]_max=-7，∴m∈（-7，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．