Question

已知雙曲線x²-y²=2013的左、右頂點分別為M、N，點P是雙曲線上異于M、N的任意一點．
（1）記直線PM、PN的斜率分別為k_PM、k_PN，求證：k_PM•k_PN為定值；
（2）若點P是雙曲線上位于第一象限的點，且∠PNM=7∠PMN，求∠MPN．
（3）類比到橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，M、N為其左、右頂點，點P是橢圓上異于M、N的任意一點．k_PM•k_PN還是定值嗎？如果是，請求出這個值，如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出M、N的坐標，設P（x₀，y₀），由于P在雙曲線上，故

x

2 0

-

y

2 0

=2013，再利用斜率公式，即可得出結論；
（2）設∠PMN=α，則∠PNM=7α，利用k_PM•k_PN=1，可求∠MPN；
（3）設P（x₀，y₀），由于P在橢圓上，故

x

2 0

-a2=-

a2

b2

y

2 0

，再利用斜率公式，即可得出結論．

解答： （1）證明：由題知M(-

2013

，0)，N(

2013

，0)，
設P（x₀，y₀），由于P在雙曲線上，故

x

2 0

-

y

2 0

=2013．
∴kPM•kPN=

y0

x0+ 2013

•

y0

x0- 2013

=

y 2 0

x 2 0 -2013

=1．…（3分）
（2）解：設∠PMN=α，則∠PNM=7α，
∴k_PM=tanα，k_PN=tan（π-7α）=-tan7α，
由（1）可知，k_PM•k_PN=1，即tanα•（-tan7α）=1，
∴cos7αcosα+sin7αsinα=0，所以cos6α=0．
又∵0＜α＜7α＜π，∴6α=

π

2

，
∴α=

π

12

，
從而∠MPN=π-α-7α=

π

3

．…（8分）
（3）解：由題知M（-a，0），N（a，0），設P（x₀，y₀），
由于P在橢圓上，故

x

2 0

-a2=-

a2

b2

y

2 0

．
∴kPM•kPN=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y 2 0

x 2 0 -a2

=-

b2

a2

．…（12分）

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查直線斜率的計算，考查類比思想，正確計算是關鍵．