Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．（a為常數(shù)）
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入求出其導函數(shù)，得出其在定義域上的單調性，即可求出函數(shù)f（x）的最值；
（Ⅱ）先求出其導函數(shù)f′（x）=a-

1

x

，通過討論a的取值得出函數(shù)在[1，+∞）上的單調性，進而求出函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最值．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)f（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）
∵f′（x）=1-

1

x

，令f'（x）=0得x=1
∵當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)
∵當x∈（1，+∞）時f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴當x=1時，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=1
（Ⅱ）∵f′（x）=a-

1

x

，
若a≤0，則對任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有最大值，沒有最小值，f（x）_最大值=f（1）=a；
若a＞0，令f'（x）=0得x=

1

a

當0＜a＜1時，

1

a

＞1，當x∈（1，

1

a

）時f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，

1

a

）上為減函數(shù)
當x∈（

1

a

，+∞）時f'（x）＞0∴函數(shù)f（x）在（

1

a

，+∞）上為增函數(shù)
∴當x=

1

a

時，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）最小值=f（

1

a

）=1-ln

1

a

當a≥1時，

1

a

≤1在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=a．
綜上得：當a≤0時，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）_最大值=a；
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）最小值=1-ln

1

a

，沒有最大值；
當a≥1時，函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=a，沒有最大值．

點評：本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．