Question

已知集合A={x∈R|ax²-3x-4=0}，
（1）若A中有兩個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A中至多有一個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由A中有兩個元素，知關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=0時，方程為-3x-4=0，所以集合A={-

4

3

}；當(dāng)a≠0時，若關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則A也只有一個元素，此時a=-

9

16

；若關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0沒有實(shí)數(shù)根，則A沒有元素，此時a＜-

9

16

．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵A中有兩個元素，
∴關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根，
∴△=9+16a＞0，且a≠0，即所求的范圍是{a|a＞-

9

16

，且a≠0}；（6分）
（2）當(dāng)a=0時，方程為-3x-4=0，
∴集合A={-

4

3

}；
當(dāng)a≠0時，若關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則A也只有一個元素，此時a=-

9

16

；
若關(guān)于x的方程ax²-3x-4=0沒有實(shí)數(shù)根，則A沒有元素，此時a＜-

9

16

，
綜合知此時所求的范圍是{a|a≤-

9

16

，或a=0}．（12分）

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)a的取值范圍的求法．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．