Question

如圖，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E為PB的中點(diǎn)，AC=AD=BC=1，PC=2．
（I）求證：DE∥平面ABC：
（II）求證：PD⊥平面BCD；
（III）設(shè)Q為PB上一點(diǎn)，=λ，試確定λ的值使得二面角Q-CD-B為45°．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知為平面ABC的一個(gè)法向量，利用?，DE?平面ABC，?DE∥平面ABC即可證明．
（II）利用=0?PD⊥BC，?PD⊥CD．及BC∩DC=C，即可證明PD⊥平面BCD．
（III）由（II）可知：=（1，0，-1）為平面BCD的法向量，由，，λ∈（0，1），可得Q（0，λ，-2λ+2）．再求出平面QCD的一個(gè)法向量，利用兩個(gè)法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．
解答：（I）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），E，
．
可知為平面ABC的一個(gè)法向量，
∵，∴．
∵DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（II）證明：∵，=（0，1，0），=（1，0，1）．
∴=0，．
∴PD⊥BC，PD⊥CD．∵BC∩DC=C，
∴PD⊥平面BCD．
（III）解：由（II）可知：=（1，0，-1）為平面BCD的法向量，
∵，，λ∈（0，1）．
∴Q（0，λ，-2λ+2）．
設(shè)平面QCD的法向量為，由，得，
令z=1，則x=-1，，∴，λ∈（0，1）．
∴cos45°===，
解得．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量證明線面平行與垂直、利用平面的法向量求二面角的余弦值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．