Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當時，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；
（Ⅲ）求證：.

Answer 1

（Ⅰ）時，單調(diào)遞增區(qū)間為；時，單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

試題分析：（Ⅰ）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)和分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時的單調(diào)性可知，即，構(gòu)造函數(shù)，由導函數(shù)分析可得在上增，在上遞減，則，由對任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，從而問題等價轉(zhuǎn)化為證.
試題解析：（Ⅰ）                          1分
時，，在上單調(diào)遞增。                     2分
時，時，，單調(diào)遞減，
時，，單調(diào)遞增.            4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），時，
                          5分
即，記 
 
在上增，在上遞減

故，得                        8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），即，則時，
要證原不等式成立，只需證：，即證：
下證   ①                                     9分



①中令，各式相加，得

成立，                          
故原不等式成立.                                                 14分
方法二：時，
時，

時，