Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點P(1，

2

2

)，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成一正方形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于A，B兩點，若線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(0，-

1

2

)，求△AOB（O為原點）面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓結(jié)果的點以及兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成一正方形，列出方程求出a，b即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）通過直線AB的斜率為0時，則AB的垂直平分線為y軸，求出三角形的面積，然后求出S_△AOB取得最大值．當直線AB的斜率不為0時，設(shè)AB的方程為y=kx+t，通過直線與橢圓聯(lián)立方程組利用弦長公式以及點到直線的距離求出三角形的面積然后求出最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成正方形，
∴a=

2

b，∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1，…（2分）
又∵橢圓經(jīng)過點P(1，

2

2

)，代入可得b²=1，
∴故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵AB的垂直平分線通過點(0，-

1

2

)，顯然直線AB有斜率，
當直線AB的斜率為0時，則AB的垂直平分線為y軸，此時x₁=-x₂，y₁=y₂
∴S△AOB=

1

2

|2x1||y1|=|x1||y1|，
∵

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，
∴|x1||y1|=

2

|

x1

2

y1|≤

2

2

(

x 2 1

2

+

y

2 1

)=

2

2

∴S△AOB≤

2

2

，當且僅當|x₁|=1時，S_△AOB取得最大值為

2

2

，…（7分）
當直線AB的斜率不為0時，則設(shè)AB的方程為y=kx+t
∴

y=kx+t x2 2 +y2=1

，代入得到（2k²+1）x²+4ktx+2t²-2=0…（8分）
當△=8（2k²-t²+1）＞0，即2k²+1＞t²①
方程有兩個不同的解又x1+x2=

-4kt

2k2+1

，

x1+x2

2

=

-2kt

2k2+1

…（10分）
∴

y1+y2

2

=

t

2k2+1

，又

y1+y2 2 + 1 2

x1+x2 2 -0

=-

1

k

，化簡得到2k²+1=2t②
代入①，得到0＜t＜2…（11分）
又原點到直線的距離為d=

|t|

k2+1

|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

1+k2

4k2-2t2+2

2k2+1

∴S△AOB=

1

2

|AB||d|=

1

2

|t|

k2+1

2

1+k2

4k2-2t2+2

2k2+1

=

|t| 4k2-2t2+2

2k2+1

考慮到2k²+1=2t且0＜t＜2化簡得到S△AOB=

1

2

4t-2t2

…（13分） 
∵0＜t＜2，∴當t=1時，即k=±

2 2

時，S_△AOB取得最大值

2

2

．
綜上，△AOB面積的最大值為

2

2

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的定義及其性質(zhì)，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式的應用，直線方程以及韋達定理的應用．難度比較大，解題需要一定的運算能力以及分析問題解決問題的能力．