Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若曲線在點處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的解析式為；（2）當時， 在， 內(nèi)是增函數(shù)；當時在， 內(nèi)是增函數(shù)，在， 內(nèi)是減函數(shù)；（3）.

【解析】試題（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，進而根據(jù)曲線在點處的切線方程為得到即，從中可求解出的值，進而可確定函數(shù)的解析式；（2）針對導(dǎo)函數(shù)，對分、兩類，由導(dǎo)數(shù)大于零求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于零可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）要使對于任意的，不等式在上恒成立，只須，由（2）的討論，確定函數(shù)，進而得到不等式即，該不等式組對任意的成立，從中可求得.

（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是

由切點在直線上可得，解得

所以函數(shù)的解析式為3分

（2）因為

當時，顯然，這時在， 內(nèi)是增函數(shù)

當時，令，解得

當變化時， ， 的變化情況如下表：

	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以在， 內(nèi)是增函數(shù)，在， 內(nèi)是減函數(shù).......7分

（3）由（2）知， 在上的最大值為與中的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當即對任意的成立，從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．.................13分.