Question

長度為6的動(dòng)弦AB在拋物線y²=4x上滑動(dòng)，AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2，則直線AB的斜率為（　�。�

• A、±1
• B、±

  3

• C、±

  2

• D、±2

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線定義，知弦AB的中點(diǎn)M到Y(jié)軸的距離最短時(shí)弦AB過焦點(diǎn)，由此設(shè)出直線AB的方程，用代數(shù)法結(jié)合橢圓的弦長公式能求出結(jié)果．

解答： 解：∵長度為6的動(dòng)弦AB在拋物線y²=4x上滑動(dòng)，AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2，
∴AB過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)AB的方程為y=k（x-1），并代入拋物線y²=4x，
得k²（x-1）²=4x，
整理，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
∵|AB|=6，
∴6=

(1+k2)[(2+ 4 k2 )-4]

，
整理，得5k⁴-8k²-4=0，
解得k²=2，或k²=-

2

5

（舍）
∴k=±

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握拋物線性質(zhì)，注意弦長公式的合理運(yùn)用．