Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2 ． （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求證：f（x）≥0；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，若不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若x＞0，證明（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=0時(shí)，f（x）=ex﹣1﹣x， f′（x）=ex﹣1
當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
f（x）min=f（0）=0，∴f（x）≥0
（Ⅱ）f'（x）=ex﹣1﹣2ax，令h（x）=ex﹣1﹣2ax，則h'（x）=ex﹣2a．
1）當(dāng)2a≤1時(shí)，在[0，+∞）上，h'（x）≥0，h（x）遞增，h（x）≥h（0），
即f'（x）≥f'（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
∴f（x）≥f（0）=0，∴ 時(shí)滿足條件；
2）當(dāng)2a＞1時(shí)，令h'（x）=0，解得x=ln2a，
當(dāng)x∈[0，ln2a）上，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴x∈（0，ln2a）時(shí)，有h（x）＜h（0）=0，即f'（x）＜f'（0）=0，
∴f（x）在區(qū)間（0，ln2a）為減函數(shù)，
∴f（x）＜f（0）=0，不合題意
綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍為
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，當(dāng)a= 時(shí)，x＞0，ex＞1+x+ ，即ex﹣1＞x+ ，
欲證不等式（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ， 只需證ln（x+1）＞
設(shè)F（x）=ln（x+1）﹣ ，則F′（x）= ，
∵x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，且F（0）=0，
∴F（x）＞0恒成立．
所以原不等式得證
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于x的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，證出結(jié)論即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．