Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2 ． （Ⅰ）當a=0時，求證：f（x）≥0；
（Ⅱ）當x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若x＞0，證明（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=0時，f（x）=ex﹣1﹣x， f′（x）=ex﹣1
當x∈（﹣∞，0）時，f'（x）＜0；
當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0
故在單調遞減，在單調遞增，
f（x）min=f（0）=0，∴f（x）≥0
（Ⅱ）f'（x）=ex﹣1﹣2ax，令h（x）=ex﹣1﹣2ax，則h'（x）=ex﹣2a．
1）當2a≤1時，在[0，+∞）上，h'（x）≥0，h（x）遞增，h（x）≥h（0），
即f'（x）≥f'（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）為增函數，
∴f（x）≥f（0）=0，∴ 時滿足條件；
2）當2a＞1時，令h'（x）=0，解得x=ln2a，
當x∈[0，ln2a）上，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，
∴x∈（0，ln2a）時，有h（x）＜h（0）=0，即f'（x）＜f'（0）=0，
∴f（x）在區(qū)間（0，ln2a）為減函數，
∴f（x）＜f（0）=0，不合題意
綜上得實數a的取值范圍為
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，當a= 時，x＞0，ex＞1+x+ ，即ex﹣1＞x+ ，
欲證不等式（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ， 只需證ln（x+1）＞
設F（x）=ln（x+1）﹣ ，則F′（x）= ，
∵x＞0時，F′（x）＞0恒成立，且F（0）=0，
∴F（x）＞0恒成立．
所以原不等式得證
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于x的不等式，求出函數的單調區(qū)間，得到函數的最小值，證出結論即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，根據
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．