Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a₁+

1

2

a₂+…+

1

n-1

a_n-1（n＞1），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)遞推數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，利用作差法即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

解答： 解：∵a_n=a₁+

1

2

a₂+…+

1

n-1

a_n-1（n＞1），
∴a_n+1=a₁+

1

2

a₂+…+

1

n-1

a_n-1+

1

n

an，
兩式相減得a_n+1-a_n=

1

n

an，
即an+1=

n+1

n

an，
即

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
等式兩邊同時(shí)相乘得

an

a2

=

n

2

，
即a_n=

n

2

a2，（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=a₁=1，
∴a_n=

n

2

a2=

n

2

，（n≥2），
即a_n=

1，n=1 n 2 ，n≥2

．
故答案為：a_n=

1，n=1 n 2 ，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的求解，利用遞推公式構(gòu)造新的方程是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．