Question

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．

（1）求證：EF∥平面BDC1；

（2）求證：平面．

 

 

Answer 1

證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）要證線面平行，就是要在平面內(nèi)找一條直線與直線平行，本題中容易看出就是要證明　，而這個在四邊形中只要取中點(diǎn)，可證明即得；（2）要證平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，就是要證與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，觀察已知條件，正三棱柱的側(cè)面是正方形，因此有，下面還要找一條垂線，最好在，中找一條，在平面中，由平面幾何知識易得，又由正三棱柱的性質(zhì)可得平面，從而，因此有平面，即有，于是結(jié)論得證.

（1）證明：取的中點(diǎn)M，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719101989693823/SYS201411171910267878352791_DA/SYS201411171910267878352791_DA.024.png">，所以為的中點(diǎn)，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719101989693823/SYS201411171910267878352791_DA/SYS201411171910267878352791_DA.027.png">為的中點(diǎn)，所以， 2分

在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，

所以，且，則四邊形A1DBM為平行四邊形，

所以，所以， 5分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719101989693823/SYS201411171910267878352791_DA/SYS201411171910267878352791_DA.038.png">平面，平面，所以，平面 7分

（2）連接，因?yàn)樵谡�三�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719101989693823/SYS201411171910267878352791_DA/SYS201411171910267878352791_DA.044.png">中，為的中點(diǎn)，

所以，，所以，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，面，

所以，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719101989693823/SYS201411171910267878352791_DA/SYS201411171910267878352791_DA.051.png">，所以，四邊形為正方形，由分別為的中點(diǎn)，所以，可證得，

所以，面，即， 11分

又因?yàn)樵谡�方�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719101989693823/SYS201411171910267878352791_DA/SYS201411171910267878352791_DA.059.png">中，，所以面, 14分

考點(diǎn)：線面平行與線面垂直.