Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，將曲線(xiàn)繞極點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到曲線(xiàn)的曲線(xiàn)記為.

（1）求曲線(xiàn)和的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)和的交點(diǎn)為，，求的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用求得的普通方程，然后根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式，求得曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.將代入曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，求得的極坐標(biāo)方程.

（2）由（1）求得的普通方程，由此求得相交弦所在直線(xiàn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及勾股定理，求得.

（1）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即

平方相加得的普通方程為：（或）.

∵，得曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，

任取上一點(diǎn)極坐標(biāo)為，由題意有在曲線(xiàn)上，

代入有極坐標(biāo)方程為.

（2）由（1）知的極坐標(biāo)方程為，即，

所以的普通方程為：，

聯(lián)立與方程可得直線(xiàn)的方程為：，的圓心為，半徑為2，且圓心到直線(xiàn)的距離為1，

∴.