Question

在平行四邊形ABCD中，

AE

=

EB

，

CF

=2

FB

，連接CE、DF相交于點(diǎn)M，若

AM

=λ

AB

+μ

AD

，則λ與μ的乘積

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得

AM

=2（λ-μ）

AE

+μ

AC

，由E、M、C三點(diǎn)共線，可得2λ-μ=1，①同理可得

AM

=λ

AF

+（μ-

1

3

λ）

AD

，由D、M、F三點(diǎn)共線，可得

2

3

λ+μ=1，②，綜合①②可得數(shù)值，作乘積即可．

解答： 解：由題意可知：E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)（靠近B）
故

AM

=λ

AB

+μ

AD

=λ

AB

+μ

BC

=λ

AB

+μ（

AC

-

AB

）=（λ-μ）

AB

+μ

AC

=2（λ-μ）

AE

+μ

AC

，
因?yàn)镋、M、C三點(diǎn)共線，
故有2（λ-μ）+μ=1，即2λ-μ=1，①
同理可得

AM

=λ

AB

+μ

AD

=λ（

AF

+

FB

）+μ

BC

=λ

AF

-

1

3

λ

AD

+μ

AD

=λ

AF

+（μ-

1

3

λ）

AD

，
因?yàn)镈、M、F三點(diǎn)共線，
故有λ+（μ-

1

3

λ）=1，即

2

3

λ+μ=1，②
綜合①②可解得λ=

3

4

，μ=

1

2

，
故實(shí)數(shù)λ與μ的乘積

3

4

×

1

2

=

3

8

，
故答案為：

3

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量基本定理即意義，涉及三點(diǎn)共線的結(jié)論，屬中檔題．