Question

已知函數(shù)為常數(shù)），數(shù)列{a_n}滿足：，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）當(dāng)α=1時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，證明對(duì)?n∈N*有：；
（3）若α=2，且對(duì)?n∈N*，有0＜a_n＜1，證明：．

Answer 1

解：（1）當(dāng)α=1時(shí)，，兩邊取倒數(shù)，得，----（2分）
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，，n∈N*．--------------（4分）
（2）證法1：由（1）知，故對(duì)k=1，2，3…=-------------（6分）
∴a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2
=
==．------------------------------（9分）．
[證法2：①當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=，
等式右邊=，左邊=右邊，等式成立；-------------------------（5分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)等式成立，
即，
則當(dāng)n=k+1時(shí)
=
=
這就是說當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，----------------------------------------（8分）
綜①②知對(duì)于?n∈N*有：．----（9分）]
（3）當(dāng)α=2時(shí)，則，-------------------（10分）
∵0＜a_n＜1，
∴--------------------------------（11分）===．--------------------（13分）
∵a_n=1-a_n與不能同時(shí)成立，∴上式“=”不成立，
即對(duì)?n∈N^*，．-----------------------------------------------------------（14分）
證法二：當(dāng)α=2時(shí)，，
則----------------------------------------------------（10分）
又0＜a_n＜1，∴，
∴a_n+1＞a_n，∴a_n∈[，1），n∈N^*------------------------------------------------（11分）
令，則，--------------------------（12分）
當(dāng)，所以函數(shù)g（x）在單調(diào)遞減，故當(dāng)，所以命題得證------------------（14分）
所以命題得證-----------------------------------------（14分）
分析：（1）當(dāng)α=1時(shí)，說明數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）法一：在（1）的條件下，化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法：證明對(duì)?n∈N*有：；
法二：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可．
（3）法一：通過α=2，化簡(jiǎn)a_n+1-a_n的表達(dá)式為，利用基本不等式直接證明．
法二：通過，以及0＜a_n＜1，說明，a_n∈[，1），n∈N^*，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可證明結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，構(gòu)造法以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．