Question

（本題滿分13分）

如圖，棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小

（3）求點C到平面PBD的距離.

 

Answer 1

【答案】

⑴見解析；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：方法一：⑴證：在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD為正方形，因此BD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A   ∴BD⊥平面PAC.

解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD為PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，

知∠PDA為二面角P—CD—B的平面角.  又∵PA=AD，∴∠PDA=45⁰ . 二面角P—CD—B余弦值為。

（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，設(shè)C到面PBD的距離為d，

由，有，即，得

方法二：證：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴  

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分

解：（2）由（1）得.

設(shè)平面PCD的法向量為，則，

即，∴  故平面PCD的法向量可取為

∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.           ……………………………7分

設(shè)二面角P—CD—B的大小為q，依題意可得 . ……………………………9分

（3）由（Ⅰ）得，設(shè)平面PBD的法向量為，

則，即，∴x=y=z，故可取為.  ………11分

∵，∴C到面PBD的距離為              …………………13分

考點：本題考查直線與平面垂直的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；向量法求空間角； 點、線、面間的距離計算。

點評：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單運算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角；  ②設(shè)分別是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小。