Question

如圖，ABCD為梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=

3

a，PD=

3

a，E為BC中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PDE；
（Ⅱ）線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使PA∥平面BDF？若有，請(qǐng)找出具體位置，并進(jìn)行證明；若無(wú)，請(qǐng)分析說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，從而BC⊥平面PDE，由此能證明平面PBC⊥平面PDE．
（Ⅱ）連結(jié)AC，BD交于O點(diǎn)，AB∥CD，從而△AOB∽△COD，AB=

1

2

DC，進(jìn)而△CPA中，AO=

1

3

AC，由PF=

1

3

PC，得OF∥PA，由此得到當(dāng)點(diǎn)F位于PC三分之一分點(diǎn)（靠近P點(diǎn)）時(shí)，PA∥平面BDF．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：連結(jié)BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=

3

a，
所以BD=DC=2a，E為BC中點(diǎn)，
所以BC⊥DE，…（3分）
又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，
因?yàn)镈E∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）
因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）
（Ⅱ）解：當(dāng)點(diǎn)F位于PC三分之一分點(diǎn)（靠近P點(diǎn)）時(shí)，
PA∥平面BDF，…（7分）
連結(jié)AC，BD交于O點(diǎn)，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=

1

2

DC，
所以△CPA中，AO=

1

3

AC，…（10分）
而PF=

1

3

PC，所以O(shè)F∥PA，…（11分）
而OF?平面BDF，PA?平面BDF，
所以PA∥平面BDF．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的證明，考查線面平行時(shí)點(diǎn)的位置的確定與證明，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．