Question

已知空間四邊形OABC，棱OA，OB，OC相互垂直，且OA=OB=BC=1，N是OC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，且MN⊥AB，求MN與AB的比值．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方體DEBF-PAOC，OA，OB，OC是正方體中過同一頂點(diǎn)O的三條棱，以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DF為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出MN與AB的比值．

解答： 解：構(gòu)造如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體DEBF-PAOC，
OA，OB，OC是正方體中過同一頂點(diǎn)O的三條棱，
以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DF為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，1），B（1，1，0），N（

1

2

，1，1），

AB

=（0，1，-1），
設(shè)

AM

=t

AB

，0≤t≤1，M（1，a，b），
則（0，a，b-1）=（0，t，-t），∴a=t，b=1-t，
∴M（1，t，1-t），∴

MN

=（-

1

2

，1-t，t），
∵M(jìn)N⊥AB，∴

MN

•

AB

=1-t-t=0，解得t=

1

2

，
∴M（1，

1

2

，

1

2

），|

MN

|=

1 4 + 1 4 + 1 4

=

3

2

，
又|

AB

|=

0+1+1

=

2

，
∴MN與AB的比值為

| MN |

| AB |

=

3

2 2

=

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條線段的比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用，注意空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，意在考查方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．