Question

已知函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1，常數α為方程f（x）=x的實數根．
（1）求證：當x＞α時，總有x＞f（x）成立；
（2）若函數f（x）的定義域為I，對任意[a，b]⊆I，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立，求證：方程f（x）=x不存在異于α的實數根．

Answer 1

（1）令h（x）=x-f（x），
∵h'（x）=1-f'（x）＞0，
∴h（x）為增函數．
又∵h（α）=α-f（α）=0，
∴當x＞α時，h（x）＞0，即x＞f（x）．
（2）假設方程f（x）=x有異于α的實根β，即f（β）=β，
不妨設β＞α，則β-α=f（β）-f（α），
由題意在α與β之間必存在一點c，α＜c＜β，
使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，
因為α≠β，所以必有f'（c）=1，但這與0＜f'（x）＜1矛盾．
因此，方程f（x）=x不存在異于α的實數根．