Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的終邊與單位圓交于點P（

3

5

，

4

5

），求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）最小正周期和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)的定義，求出α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值，直接代入f（α）化簡即可．
（Ⅱ）將f（x）=2

3

sin2x-2sin²x化為（x）=2sin（2x+

π

6

），即可求得其周期；由x∈[-

π

6

，

π

3

]可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）在區(qū)間x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為角α的終邊與單位圓交于點P（

3

5

，

4

5

），
由三角函數(shù)的定義可知，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
所以f（α）=2

3

sinαcosα-2sin²α
=2

3

×

3

5

×

4

5

-2×(

4

5

)2
=

24 3 -32

25

．
（Ⅱ）∵f（x）=

3

sin2x+1-2sin²x-1=

3

sin2x+cos2x-1
=2sin（2x+

π

6

）-1
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
于是，當2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時，f（x）取得最小值-2；
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值1．
所以函數(shù)的值域為[-2，1]．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的定義，著重考查降冪公式與輔助角公式的應用及正弦函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性質，屬于中檔題．