Question

若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與直線y=x無交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：
（1）若a=1，b=2，則c＞

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（2）若a+b+c=0，則a＜0
（3）函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點(diǎn)．
（4）若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實(shí)數(shù)x都成立；
（5）方程f[f（x）]=x一定沒有實(shí)數(shù)根；
其中正確的結(jié)論是

 

 （寫出所有正確結(jié)論的編號）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)和b帶入二次函數(shù)解析式與y=x聯(lián)立，根據(jù)△＜0求得c的范圍．
（2）根據(jù)題意知f（1）=a+b+c=0，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c有一個(gè)零點(diǎn)（1，0），則f（1）=0＜1，可得a＜0，
（3）根據(jù)已知條件求得△大于零，進(jìn)而求得函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x聯(lián)立消去y后二次方程△＜0推斷出函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點(diǎn)．
（4）函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，可以推斷出當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）＞x，進(jìn)而可知f[f（x）]=f（x）．
（5）由函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，推斷出f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．進(jìn)而推斷出f[f（x）]=x沒有實(shí)數(shù)根．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2x+c，
令f（x）=x=x²+2x+c，
整理得x²-x+c=0，要使函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x無交點(diǎn)，
需△=1-4c＜0，即c＞

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4

，故（1）正確．
（2）依題意知f（1）=a+b+c=0，
故二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c有一個(gè)零點(diǎn)（1，0），要使二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與直線y=x無交點(diǎn)，
開口方向必須向下，故a＜0，（2）結(jié)論正確．
（3）聯(lián)立二次函數(shù)和直線方程整理得ax²+（b-1）x+c=0，圖象無交點(diǎn)，
∴△=（b-1）²-4ac＜0，
聯(lián)立

ax2-bx+c=0 y=-x

，消去y得ax²+bx+c=0，△=（b-1）²-4ac＜0，
∴函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點(diǎn)．
（4）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，所以當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）＞x
∴f[f（x）]=f（x），
∴f[f（x）]=f（x）＞x恒成立．故（4）結(jié)論正確．
（5）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因?yàn)閒[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x沒有實(shí)數(shù)根；
故（5）結(jié)論正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．利用好二次函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解決問題的關(guān)鍵．