Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心”，且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心．請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件．
（1）函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對(duì)稱中心為

 

．
（2）若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，則

9

i=1

g（

i

10

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：正確求出對(duì)稱中心，利用對(duì)稱中心的性質(zhì)即可求出．

解答： 解：（1）依題意，f'（x）=3x²-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=1，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是（1，）．
∴函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對(duì)稱中心為（1，1）；
故答案為：（1，1）；
（2）由題意，g′（x）=x²-x+3，∴g^″（x）=2x-1，
令g^″（x）=0，解得x=

1

2

，
又g（

1

2

）=1，∴函數(shù)g（x）的對(duì)稱中心為（

1

2

，1），
∴g（

1

10

）+g（

9

10

）=2，g（

2

10

）+g（

8

10

）=2，
  g（

3

10

）=g（

7

10

）=2，g（

4

10

）+g（

6

10

）=2，
∴

9

i=1

g(

i

10

)=4×2+1=9，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：正確求出對(duì)稱中心并掌握對(duì)稱中心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．