Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x-a）+1，（a＞0且a≠1）恒過定點（3，1）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設函數(shù)h（x）=a^x+1，函數(shù)F（x）=[h（x）+2]²的圖象恒在函數(shù)G（x）=h（2x）+m+2的上方，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)過定點，代入解對數(shù)方程即可得到結論．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)F（x）的圖象恒在函數(shù)G（x）的上方，轉(zhuǎn)化為不等式F（x）＞G（x）恒成立，即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log_a（x-a）+1，（a＞0且a≠1）恒過定點（3，1）．
∴f（3）=log_a（3-a）+1=1，即log_a（3-a）=0，
解得3-a=1，解得a=2；
（Ⅱ）∵函數(shù)F（x）=[h（x）+2]²的圖象恒在函數(shù)G（x）=h（2x）+m+2的上方
∴F（x）＞G（x）恒成立，
即[h（x）+2]²＞h（2x）+m+2，
即（2^x+3）²＞2^2x+1+m+2，
整理得m＜（2^x）²+2•2^x+6，
設H（x）=（2^x）²+2•2^x+6，令t=2^x，則t＞0，
則H（t）=t²+2t+6=（t+1）²+5，
∵t＞0，∴H（t）＞H（0）=6
∴m≤6．

點評：本題主要考查與對數(shù)函數(shù)有關的性質(zhì)以及不等式恒成立問題，綜合考查學生的運算能力，利用換元法是解決本題的關鍵．