Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且側(cè)面PAB⊥平面ABCD，點E是棱AB的中點．
（Ⅰ）求證：CD∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：PE⊥AD；
（Ⅲ）若CA=CB，求證：平面PEC⊥平面PAB．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）因為底面ABCD是菱形，推斷出CD∥AB．進而根據(jù)線面平行的判定定理推斷出CD∥平面PAB．
（Ⅱ）因為PA=PB，點E是棱AB的中點，可知PE⊥AB，因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，推斷出PE⊥平面ABCD，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PE⊥AD．
（Ⅲ）因為CA=CB，點E是棱AB的中點，進而可知CE⊥AB，（Ⅱ）可得PE⊥AB，進而判斷出AB⊥平面PEC，根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出平面PAB⊥平面PEC．

解答：
解：（Ⅰ）因為底面ABCD是菱形，
所以CD∥AB．
又因為CD?平面PAB，
所以CD∥平面PAB．
（Ⅱ）因為PA=PB，點E是棱AB的中點，
所以PE⊥AB，
因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD，
因為AD?平面ABCD，
所以PE⊥AD．
（Ⅲ）因為CA=CB，點E是棱AB的中點，
所以CE⊥AB，
由（Ⅱ）可得PE⊥AB，
所以AB⊥平面PEC，
又因為AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PEC．

點評：本題主要考查了線面平行，線面垂直，面面垂直的判定定理及性質(zhì)．要求對滿足的條件全面．